一元二次方程公式法公式是什么?详细解说及应用技巧
一元二次方程公式法公式是什么?
一元二次方程公式法公式是求解一元二次方程的常用方法。其公式为:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
其中,a、b、c是一元二次方程$$ax^2 bx c = 0$$(a ≠ 0)的系数。
公式详细解说
一元二次方程公式法公式是对一元二次方程进行求根的公式。其推导过程如下:
对于一元二次方程$$ax^2 bx c = 0$$(a ≠ 0),将该方程变形为:
$$ax^2 bx \frac{c}{a} = 0$$
再将该方程化为完全平方形式:
$$a(x \frac{b}{2a})^2 \frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2} = 0$$
整理得:
$$(x \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$$
取平方根得:
$$x \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
移项得:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
公式应用技巧
一元二次方程公式法公式在求解一元二次方程时有以下应用技巧:
* 首先要判断一元二次方程是否满足使用一元二次方程公式法公式的条件,即其系数a不能为0。
* 在使用一元二次方程公式法公式求解时,要先求出方程的判别式$$b^2 - 4ac$$。判别式的值决定了一元二次方程的根的性质:
* 当$$b^2 - 4ac > 0$$时,一元二次方程有两个不相等的实根。
* 当$$b^2 - 4ac = 0$$时,一元二次方程有两个相等的实根。
* 当$$b^2 - 4ac < 0$$时,一元二次方程没有实根(有两个虚根)。
* 在使用一元二次方程公式法公式求解时,要注意公式中的正负号。当判别式$$b^2 - 4ac > 0$$时,公式中的正负号对应于一元二次方程的两个不相等的实根;当判别式$$b^2 - 4ac = 0$$时,公式中的正负号对应于一元二次方程的两个相等的实根。
公式应用实例
例1:求解一元二次方程$$x^2 - 3x 2 = 0$$。
解:
判别式$$b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 > 0$$,因此一元二次方程$$x^2 - 3x 2 = 0$$有两个不相等的实根。
代入一元二次方程公式法公式,得:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
$$= \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}$$
$$= \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$$
$$= \frac{3 \pm 1}{2}$$
$$= 2, 1$$
因此,一元二次方程$$x^2 - 3x 2 = 0$$的两个实根为2和1。
例2:求解一元二次方程$$2x^2 - 4x 2 = 0$$。
解:
判别式$$b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(2)(2) = 16 - 16 = 0$$,因此一元二次方程$$2x^2 - 4x 2 = 0$$有两个相等的实根。
代入一元二次方程公式法公式,得:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
$$= \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(2)(2)}}{2(2)}$$
$$= \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{4}$$
$$= \frac{4}{4}$$
$$= 1$$
因此,一元二次方程$$2x^2 - 4x 2 = 0$$的两个相等的实根为1。
例3:求解一元二次方程$$x^2 2x 5 = 0$$。
解:
判别式$$b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0$$,因此一元二次方程$$x^2 2x 5 = 0$$没有实根。
因此,一元二次方程$$x^2 2x 5 = 0$$无解。
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